なぜ、色は混ざらないのか

水の上に色を落とすと、色はふわっと広がります。となりに別の色を落としても、櫛でなぞっても、色どうしは混ざりません。髪の毛ほどの細い線になっても、くっきり分かれたままです。

waiの代表は、大学院で流体力学を研究していました。このページでは、マーブリングの「混ざらない」を、すこしだけ数式をまじえて説明してみます。

01浮かぶ

とろみをつけた水の上に絵の具を落とすと、絵の具は沈まずに、水面で丸く広がってうすい膜になります。広がるかどうかは、3つの表面張力のつり合いで決まります。

S = γ_水 − ( γ_絵の具 + γ_境目 )

γ（ガンマ）は表面張力です。水が外へ引っぱる力が、絵の具が丸くまとまろうとする力より強ければ（S > 0）、絵の具は自分から薄く広がっていきます。トルコのエブルでは、牛の胆汁を絵の具に少しだけ混ぜて、この広がり方を整えてきました。

広がった色のまんなかに、次の色を落とします。新しい色は前の色を押しのけて広がり、前の色はそのまわりで輪になります。でも、混ざりはしません。

1色目のふちが、中心から d のところにあったとします。まんなかに半径 r の2色目を落とすと、ふちは d′ まで押し出されます。水はほとんど押し縮められないので、落とした滴のぶんだけ、面積がそのまま増えるからです。

π d′² = π d² + π r² ⟹ d′ = √d² + r²

1色目（ふちまで d）

2色目（半径 r）で d′ へ

横に3色目

4色目

近くの点ほど大きく、遠くの点ほど少しだけ動きます。どの点も、それぞれ別の行き先へ1対1で移るので、色のさかいめが切れたり、重なったりすることはありません。

水面に細い棒（櫛や針）を通すと、棒の近くの色ほど大きく引っぱられ、遠くの色はあまり動きません。このサイトの模様づくりでは、そのようすを次の式であらわしています。

Δ = z · λd + λ

たとえば、棒のすぐそば（d = 0）の色は、棒と同じだけ動きます（Δ = z）。d = λ のところでは半分だけ。ずっと遠くでは、ほとんど動きません。

どの色も、棒と同じ向きに、横すべりするように動くだけです。だから形はのびても面積は変わらず、色のさかいめが切れたり重なったりもしません。

しま模様

棒を1本通す

交互に何本も

右の図は、棒を上下交互に通しただけ。これが「矢羽根」模様のもとです。

コップの水をスプーンで混ぜると、渦ができて、色はすぐに混ざります。マーブリングで混ざらないのは、とろみのある液を、ゆっくり動かしているからです。その目安になるのが、レイノルズ数です。

Re = ρ U Lμ

μ が分母にあるので、とろみが強いほど Re は小さくなります。Re が大きい（およそ2000より上）と流れが乱れて渦ができ、小さいと、流れは層のように重なったまま、なめらかに動きます（層流）。

レイノルズ数 Re のものさし（目盛りは10倍ずつ）。点線のあたりから先で、流れが乱れやすくなります。

スプーンで水を混ぜると Re ≈ 5000（速さ 10 cm/s、大きさ 5 cm）。とろみのある液を櫛でなぞると Re ≈ 0.5（速さ 1 cm/s、間隔 5 mm、とろみは水の約100倍）。1万倍ほどのちがいです。

マーブリングの模様は、混ぜたのではなく、層のまま引きのばしただけ。色どうしはずっと「となりあっている」だけなので、細い線になっても、それぞれの色がそのまま残ります。

マーブリングの模様は、ここまで書いたように、かなりの部分まで数式で説明できます。

それでも、同じ模様は二度とできません。色を落とす場所が1ミリずれるだけで、櫛を通す速さがほんの少し変わるだけで、模様はまったく別のものになります。物理で決まるところと、人の手にしか決められないところ。そのあいだに、その人だけの表現が生まれると思っています。

トップページの模様づくりは、ここで紹介した「滴を落とす式」と「棒でなぞる式」を、ブラウザの中で1ピクセルずつ、時間を逆にたどって計算しています。色をえらんで、模様をつくってみてください。

数値は、わかりやすくするための目安です。液の種類や温度で変わります。